Als de functies fi lineair afhankelijk zijn, dan zijn de kolommen van de Wronskian dat ook, aangezien differentiatie een lineaire bewerking is, dus de Wronskiaan verdwijnt. De Wronskian kan dus worden gebruikt om aan te tonen dat een reeks differentieerbare functies lineair onafhankelijk is op een interval door aan te tonen dat deze niet identiek verdwijnt.
Wat wordt bedoeld met Wronskian?
: een wiskundige determinant waarvan de eerste rij bestaat uit n functies van x en waarvan de volgende rijen bestaan uit de opeenvolgende afgeleiden van dezelfde functies met betrekking tot x.
Wat gebeurt er als de Wronskian 0 is?
Als f en g twee differentieerbare functies zijn waarvan de Wronskian op enig punt niet nul is, dan zijn ze lineair onafhankelijk.… Als f en g beide oplossingen zijn van de vergelijking y + ay + by=0 voor sommige a en b, en als de Wronskian op een willekeurig punt in het domein nul is, dan is het nul overalen f en g zijn afhankelijk.
Hoe gebruik je Wronskian om lineaire onafhankelijkheid te bewijzen?
Laat f en g differentieerbaar zijn op [a, b]. Als Wronskian W(f, g)(t0) niet nul is voor een bepaalde t0 in [a, b], dan zijn f en g lineair onafhankelijk van [a, b]. Als f en g lineair afhankelijk zijn, dan is de Wronskian nul voor alle t in [a, b].
Hoe weet je of twee vergelijkingen lineair onafhankelijk zijn?
Nog een definitie: van twee functies y 1 en y 2 wordt gezegd dat ze lineair onafhankelijk zijn als geen van beide functies is een constant veelvoud van de andere Bijvoorbeeld, de functies y 1=x 3 en y 2 =5 x 3 zijn niet lineair onafhankelijk (ze zijn lineair afhankelijk), aangezien y 2 duidelijk een constant veelvoud is van y 1
