Wanneer is een abelse groep cyclisch?

2024 Auteur: Fiona Howard | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-10 06:41

Informeel is een groep cyclisch als het wordt gegenereerd door een enkel element. Het is abels als vermenigvuldiging pendelt. Een groep is cyclisch als deze kan worden gegenereerd door een enkel element.

Is een abelse groep cyclisch?

Alle cyclische groepen zijn Abeliaans, maar een Abeliaanse groep is niet noodzakelijk cyclisch. Alle subgroepen van een Abeliaanse groep zijn normaal. In een Abeliaanse groep bevindt elk element zich op zichzelf in een conjugacy-klasse, en de karaktertabel omvat de krachten van een enkel element dat bekend staat als een groepsgenerator.

Hoe bewijs je dat een abelse groep cyclisch is?

Bewijs

1. Laat G een cyclische groep zijn met een generator g∈G. We hebben namelijk G=⟨g⟩ (elk element in G is een macht van g.)
2. Laat a en b willekeurige elementen zijn in G. Dan bestaat n, m∈Z zodanig dat a=gn en b=gm.
3. Vandaar dat we ab=ba krijgen voor willekeurig a, b∈G. Dus G is een abelse groep.

Hoe weet je of een groep cyclisch is?

4 Antwoorden. Een eindige groep is cyclisch als, en alleen als, precies één subgroep heeft van elke deler van zijn orde. Dus als je twee subgroepen van dezelfde orde vindt, dan is de groep niet cyclisch, en dat kan soms helpen.

Wat is een cyclische groep uitleggen met een voorbeeld?

Bijvoorbeeld (Z/6Z)^×={1, 5} , en aangezien 6 tweemaal een oneven priemgetal is, is een cyclische groep. … Als (Z/nZ)^× cyclisch is, worden zijn generatoren primitieve wortels modulo n genoemd. Voor een priemgetal p is de groep (Z/pZ)^{× altijd cyclisch, bestaande uit de niet-nul-elementen van het eindige veld van orde p.}