Als A een m × n matrix is, dan hebben ATA en AAT dezelfde eigenwaarden die niet nul zijn … Daarom is Ax een eigenvector van AAT die overeenkomt met eigenwaarde λ. Een analoog argument kan worden gebruikt om aan te tonen dat elke eigenwaarde van AAT die niet nul is een eigenwaarde van ATA is, waarmee het bewijs wordt voltooid.
Zijn de eigenwaarden van AAT en ATA hetzelfde?
De matrices AAT en ATA hebben dezelfde eigenwaarden die niet nul zijn. Paragraaf 6.5 liet zien dat de eigenvectoren van deze symmetrische matrices orthogonaal zijn.
Is ATA hetzelfde als AAT?
Omdat AAT en ATA echt symmetrisch zijn, kunnen ze worden gediagonaliseerd met orthogonale matrices. Uit de vorige stelling volgt (omdat de meetkundige en algebraïsche veelvouden samenvallen) dat AAT en ATA dezelfde eigenwaarden hebben.
Heeft ATA verschillende eigenwaarden?
Waar. Als bijvoorbeeld A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , dan heeft de karakteristieke vergelijking det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 geen herhaalde wortel. Daarom zijn alle eigenwaarden van A verschillend en is A diagonaliseerbaar. 3.35 Voor elke reële matrix A is AtA altijd diagonaliseerbaar.
Kunnen verschillende eigenvectoren dezelfde eigenwaarde hebben?
Twee verschillende eigenvectoren die overeenkomen met dezelfde Eigenwaarde zijn altijd lineair afhankelijk. Twee verschillende eigenvectoren die overeenkomen met dezelfde eigenwaarde zijn altijd lineair afhankelijk.
